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數(shù)形結(jié)合論文文獻(xiàn)綜述篇一

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果能靈活地借助數(shù)形結(jié)合思想，會(huì)將數(shù)學(xué)問題化難為易，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題。那么，如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘數(shù)形結(jié)合思想并適時(shí)地加以應(yīng)用呢？下面筆者根據(jù)日常的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勛约旱囊娊狻?/p>

一、從有理數(shù)開始就讓中學(xué)生及早體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想

在七年級(jí)開始，數(shù)軸的引入就大大豐富了有理數(shù)的內(nèi)容，對(duì)學(xué)生認(rèn)識(shí)有理數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值以及有理數(shù)的運(yùn)算都有很大的幫助，由于對(duì)每一個(gè)有理數(shù)，數(shù)軸上都有唯一確定的點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，因此，兩個(gè)有理數(shù)大小的比較，是通過這兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行的。相反數(shù)、絕對(duì)值概念則是通過相應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)刻劃的。盡管我們學(xué)習(xí)的是有理數(shù)，但我們要求學(xué)生時(shí)刻牢記它的形：數(shù)軸上的點(diǎn)。通過滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，幫助學(xué)生正確理解有理數(shù)的性質(zhì)及其運(yùn)算法則。

例如:

1、比較兩個(gè)數(shù)的大小方法：數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大，正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

2、比2℃低5℃的溫度是_______；

3、若|a|=2，則a=______；

4、七年級(jí)《數(shù)學(xué)》(上)的習(xí)題，一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了3千米到達(dá)小彬家，繼續(xù)走了1.5千米到達(dá)小穎家，然后向西走了9.5千米到達(dá)小明家，最后回到超市。在習(xí)題中也常出現(xiàn)這類題目。

這些內(nèi)容如果適當(dāng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想就很容易理解掌握了。

二、不等式(組)內(nèi)容蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合思想

在進(jìn)行 “一元一次不等式和一元一次不等式組”，教學(xué)時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)不等式解集的理解，老師要適時(shí)地把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，使學(xué)生形象地看到，不等式有無(wú)限多個(gè)解。這里蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合的重要思想方法，在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)，而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則比在數(shù)軸上表示數(shù)又前進(jìn)了一步。確定一元一次不等式組的解集時(shí)，利用數(shù)軸更為有效，如：在分析不等式組的解集情況時(shí)，如果老師利用數(shù)軸把數(shù)轉(zhuǎn)化為“形”從而找出兩個(gè)不等式的公共解，教學(xué)效果會(huì)事倍功半。如果老師能結(jié)合數(shù)軸，畫圖表示各個(gè)不等式的解集，就很容易寫出不等式組幾種類型的解集。

三、應(yīng)用題的內(nèi)容也隱含豐富的數(shù)形結(jié)合思想。

用示意圖分析數(shù)學(xué)問題，就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn)。小學(xué)教師在幫助學(xué)生分析解應(yīng)用題，尤其有關(guān)行程問題、工程問題等方面的內(nèi)容時(shí)，都不忘用示意圖。而到了中學(xué)，學(xué)生的理解分析能力都有了很大的提高，應(yīng)用題的內(nèi)容更為豐富了，復(fù)雜了、難度更大了，并且其難點(diǎn)是如何根據(jù)題意尋找等量關(guān)系布列方程，要突破這一難點(diǎn)，老師在教學(xué)中必須充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的示意圖，才能幫助學(xué)生迅速找出等量關(guān)系列出方程，從而突破難點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合的思想，是最基本的數(shù)學(xué)思想之一，應(yīng)用范圍較為廣泛，因此我們數(shù)學(xué)老師在教學(xué)中要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想方法的滲透、概括和總結(jié)，要重視數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中相互依賴的兩個(gè)方面，在教學(xué)中要挖掘數(shù)與形的聯(lián)系，從而加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握。

數(shù)形結(jié)合論文文獻(xiàn)綜述篇二

小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合作為一種教學(xué)思想方法，一般包含兩方面內(nèi)容，一個(gè)方面是“以形助數(shù)”，另一個(gè)方面的內(nèi)容是“以數(shù)解形”。下面介紹這兩個(gè)方面的內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用。

（一）以形助數(shù)

所謂“以形助數(shù)”，是指老師在講解某些數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，僅靠數(shù)字講解學(xué)生不太能理解，借助幾何圖形的特點(diǎn)，將所要講的知識(shí)點(diǎn)更直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，從而將抽象化的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w化的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)行程問題的應(yīng)用題時(shí)，可以運(yùn)用圖形的辦法清晰地展現(xiàn)問題。如：一輛汽車從甲地開往乙地，先是經(jīng)過上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽車上坡速度是每小時(shí)20千米，在平地的速度是每小時(shí)30千米，而下坡的速度則是每小時(shí)40千米，汽車從甲地到乙地一共上坡花了6小時(shí)，平地花了2小時(shí)，下坡花了4小時(shí)。請(qǐng)問汽車從乙地到甲地需要多長(zhǎng)時(shí)間？在這道題中，既存在變量，又存在不變量。變量就是上坡路和下坡路隨著汽車行駛的方向而發(fā)生改變，當(dāng)汽車從乙地到甲地行駛時(shí)，原先的上坡路變成了下坡路，原先的斜坡路變成了上坡路。而不變量就是這兩個(gè)路程汽車行駛的速度都是始終不變的。那么在解決問題的時(shí)候，就可以直觀地展現(xiàn)出來(lái)。先算出汽車從乙地到甲地的上坡時(shí)間，即（40×4）÷20=8（小時(shí)），然后算出下坡所花費(fèi)的時(shí)間，即（20×6）÷40=3（小時(shí)），而平地所花費(fèi)的時(shí)間是不變的，所以汽車從乙地到甲地所花費(fèi)的時(shí)間是8+3+2=13（小時(shí)）。在這道題中，運(yùn)用圖像將數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算都直觀地展現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生比較易于理解，這樣的教學(xué)可以在很大程度上提高教學(xué)效率。

（二）以數(shù)解形

雖然圖形可以更加直觀地展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，但是對(duì)于一些幾何圖形，特別是小學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何圖形來(lái)講，非常簡(jiǎn)單，如果僅僅是通過直接觀察反而看不出規(guī)律，這時(shí)就可以運(yùn)用“以數(shù)解形”的方式教學(xué)。比如老師在講解“平行四邊形的特征”一課時(shí)，很多學(xué)生通過學(xué)習(xí)，對(duì)概念性的東西已經(jīng)非常了解，但是在具體的情況下又不能真正把握清楚，老師在教學(xué)過程中就可以通過對(duì)四邊形進(jìn)行賦值，讓學(xué)生更深刻地理解和把握。比如給出三組數(shù)字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在這三組數(shù)字中，讓學(xué)生選擇平行四邊形。那么學(xué)生理解了平行四邊形的概念，即兩組對(duì)邊要平行且相等，通過比較分析，知道只有第二組數(shù)字符合平行四邊形的概念。因此，在這樣的教學(xué)中應(yīng)該充分運(yùn)用“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，幫助學(xué)生更快地掌握知識(shí)要點(diǎn)。

二、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想需要注意的問題

（一）注意培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的習(xí)慣

老師在小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)要注意培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學(xué)題的習(xí)慣。小學(xué)生在平時(shí)的做題過程中，常常會(huì)忘了使用“數(shù)形結(jié)合”方法，有的還不會(huì)。因此，老師在平時(shí)的教學(xué)中，一定要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的好習(xí)慣。針對(duì)不同的年齡段學(xué)生，采用不同的方法，比如低年級(jí)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生在生活中找實(shí)物，高年級(jí)的學(xué)生則學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的畫圖等，讓學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思想。

（二）數(shù)形結(jié)合要注意利用多媒體技術(shù) 多媒體的發(fā)展已經(jīng)迅速蔓延到教學(xué)領(lǐng)域，對(duì)于比較難懂的知識(shí)點(diǎn)，老師要借助多媒體技術(shù)實(shí)施教學(xué)。因?yàn)槎嗝襟w技術(shù)可以移動(dòng)圖像，當(dāng)碰到需要運(yùn)用想象思維的時(shí)候，可以在多媒體中進(jìn)行展示。

三、結(jié)語(yǔ)

在小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)思想，可以有效提高課堂教學(xué)效率，幫助學(xué)生更快地理解知識(shí)點(diǎn)。教師應(yīng)根據(jù)不同情況，綜合運(yùn)用“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”這兩種不同方式，取得更好的教學(xué)效果。

作者：季利明 工作單位：赤峰市元寶山區(qū)元寶山鎮(zhèn)馬林小學(xué)

數(shù)形結(jié)合論文文獻(xiàn)綜述篇三

高考沖刺：數(shù)形結(jié)合

編稿：林景飛

審稿：張揚(yáng)

責(zé)編：辛文升 熱點(diǎn)分析 高考動(dòng)向

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。

知識(shí)升華

數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。 1．高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個(gè)方面：

（1）集合問題中venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：

（1）等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分

析容易出錯(cuò)；

（3）簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變

量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線為佳。

3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。 4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域（如線性規(guī)劃）、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識(shí)解決問題，如點(diǎn)，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對(duì)解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予

以重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查。

經(jīng)典例題透析

類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題 1．（2010全國(guó)ⅰ·理）已知函數(shù)a+2b的取值范圍是

a．

解析：畫出

由題設(shè)有，

b．的示意圖。 ， ，若，且，則

c．

d．

∴ ，

令 ，

則

∵

∴ ， ∴ 在，

。 上是增函數(shù)。

∴

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

。選c.

在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線， 的開口向下，對(duì)稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖（1）所示， 當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖（2）所示， 當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即

。 。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當(dāng)a＞1時(shí)，如圖（3）所示。

當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（ⅰ）寫出

（ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間； ，求

在[0，a]上的最大值。

。

。∴a=2。

解析：

如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

時(shí)，，。

（2）當(dāng)a≤1時(shí)，當(dāng)

當(dāng)

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當(dāng)]時(shí)，都

，時(shí)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得x∈[0,

有|f(x)|≤5，問a為何值時(shí)，m(a)最大？并求出這個(gè)最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設(shè)，

∴區(qū)間[-2,2]在對(duì)稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，

∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，

（這是不可能的）

（2）當(dāng)，時(shí)，，

∵，所以，

（圖1）

（圖2）

（1）當(dāng)

所以

即是方程，時(shí)（如圖1），則的較小根，即

（2）當(dāng)

所以

即是方程，時(shí)（如圖2），則的較大根，即

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立），

由于，

因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值

類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

解析：畫出

和的圖象，

當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。

又由當(dāng)曲線

與曲線

相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)切點(diǎn)

又直線，則過切點(diǎn)，即，得， ，解得切點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。

誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對(duì)位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤。

總結(jié)升華：

1．解決這類問題時(shí)要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：

①要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解。

舉一反三：

【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是 。

解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)。

設(shè)（x∈－1，1）

如圖：當(dāng)內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。

或時(shí)，關(guān)于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的解析：將原方程

與直線

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值。

設(shè)，，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象

由圖可知，當(dāng)

或

時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，

即對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為。

∴。

若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，

∴。

所以這兩個(gè)實(shí)根的和為或。

且由對(duì)稱性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

3．（北京2010·理）如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形pabc沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期為________；

在其兩個(gè)相鄰的軌跡方程是零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為________.

解析：為便于觀察，不妨先將正方形pabc向負(fù)方向滾動(dòng)，使p點(diǎn)落在x軸上的點(diǎn)，此點(diǎn)即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（圖1）。

（一）以a為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)頂點(diǎn)b位于x軸上，

頂點(diǎn)p畫出了a為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖2）；

（二）繼續(xù)以b為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)頂點(diǎn)c位于x軸上，

頂點(diǎn)p畫出b為圓心，為半徑的個(gè)圓周（圖3）；

（三）繼續(xù)以c為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)，頂點(diǎn)p位于x軸上，為點(diǎn)，

它畫出了c為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖4）。為又一個(gè)零點(diǎn)。

∴ 函數(shù)的周期為4.

相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個(gè)半徑為1的圓、

半徑為的圓和兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形，其面積是

。

舉一反三：

2

2【變式1】已知圓c：(x+2)+y=1，p（x，y）為圓c上任一點(diǎn)。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。

（1）

表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離，

由題意知p（x，y）在圓c上，又c（―2，0），半徑r=1。

∴|oc|=2。的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率，

設(shè)q（1，2），，過q點(diǎn)作圓c的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，

所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，

當(dāng)直線與圓c有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍，

最值必在直線與圓c相切時(shí)取得。這時(shí)

∴

。 ，最小值為

。 ，

∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點(diǎn)p（x，0）到點(diǎn)a（1，1）與b（3，2）距離之和

如圖，點(diǎn)a（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)a＇（1，－1），則 即為p到a，b距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（ ）

2的取

a．

b．或

c．

d．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，

則 ，即

下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則斜率

可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)o（0，0）連線的 則 ，選c。