無論是身處學校還是步入社會，大家都嘗試過寫作吧，借助寫作也可以提高我們的語言組織能力。寫范文的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？下面是小編為大家收集的優秀范文，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

排列組合聽課反思篇一

1、創設情境 活用教材

我對教材進行了靈活的處理 ，課一開始，老師就創設了和三只小動物參觀數學樂園，充分地調動了學生的學習興趣，同時也將學生知識很好地融合到生活中去。整堂課教師就是圍繞這個大情景來教學的。在一個又一個的活動情境中滲透排列和組合的思想方法，讓學生親身經歷探索簡單事物排列和組合規律的過程，在活動中主動參與，在活動中發現規律。課的設計比較適合低年級學生的年齡特點。

2、關注合作 促進交流

以同桌或小組合作的形式貫穿全課，充分應用同桌,分組合作、共同探究的學習模式，在教學中鼓勵學生與同伴交流，引導學生展開討論，使學生在合作中學會了知識，體驗了學習的樂趣，思維活動也更加活躍。

3、練習題的設計力求游戲化，使學生在快樂愉悅的氛圍中愉快的學習知識，如抽獎游戲從而大大提高了學習的興趣。

教后反思：

1、教師對學生的小組合作學習指導不夠，有個別學生還不能有效參與。

2、對教材的理解不夠透徹,對學生的指導不夠細致，不夠具體，如在抽獎游戲過程中，由于時間關系，沒有讓學生板演，或說出自己的想法，草草收場。

3、教師語言不夠精練,放手不夠到位。如排列教學中，沒有留給學生更多的思維空間，讓學生自己找出不同擺法。

4、今后應加強理論學習，不斷改進課堂教學，提高教學效率。

排列組合聽課反思篇二

創設情境“游玩數學廣角”，組織學生參與多層次的多種游戲活動。在具體的活動情境中把排列與組合的思想方法滲透進去，通過玩一玩、想一想、比一比，充分地調動了學生們的積極性，使他們不知不覺地去感知了何謂排列，何謂組合。

二、親歷過程，主動建構。

本節課，我以學生為主體，鼓勵學生大膽地進行猜測、驗證，留有充分的時空去嘗試、討論、研究，調動學生全員參與、自主探究，讓他們充分展示其思維過程，而不是將學生的思維納入老師的思維軌道，因為只有自己發現并學會的知識才是記得最牢固的。如：學生獨立排由1，2，3組成的數之后出現了各種不同的情況，學生在匯報交流中發現了自己的不足，學到了別人的長處，自然而然地學會了有序排列。這樣，讓學生親歷做數學的過程，主動建構新知，就像在水中學會游泳一樣，才能真正掌握本領。

三、預設有效問題是進行數學思維的關鍵

“思”源于“問題”，要通過“問題解決”使兒童獲得知識、方法、能力及思想上的全面發展，首先要有一個好“問題”。因為學生數學思考的形成就是借助于對這些“問題”的思考及通過對這些問題的解決過程之中。在這節課中，在

每一個活動之前，我首先都為學生創設了一個感興趣的，具有現實意義的問題：“用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數呢？”、“三個人每兩人互相握一次手，一共要握幾次手？”、“搭配衣服，一件衣服和一條褲子搭配算一種穿法，兩件衣服和兩條褲子有幾種搭配方法？” “買門票5角，可以怎樣付錢？有幾種付法？”??只有面對這樣的“問題”，學生才能自覺的全身心地投入到問題解決之中，才能通過對這些問題的分析、比較，對這些規律的觀察、感悟，對所得結論的描述、解釋。這一過程正是學生形成數學思考的過程。

四、逐步感悟有序思維的必要性

有序思維在日常生活中有著廣泛的用途，讓學生通過學習逐步感悟到有序思維的重要性。本節課，我試圖通過以下三個層次的設計體現這一想法：第一層次，用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數，讓學生非常自然地、主動地進行猜數，并產生怎樣思考才能既不重復也不遺漏的問題，使學生獨立思考；第二層次，通過學生獨立思考――“用1、2、3寫（擺）兩位數” 引導學生根據自己的實際情況選擇不同的方法探究新知，尊重學生的個性差異，使每個學生在原有基礎上得到完全、自由的發展，初步感悟有序的寫（擺）；交流討論，再說一說你是怎么寫（擺）的，它好在哪里？等問題，促使學生去觀察、去發現，促進了學生對其隱藏著的

數學思想的領悟、認識；最后通過全班交流，引導學生得到了兩種基本的排序方法（列表法和圖示法），進一步體驗到按一定的順序思考的價值并初步掌握方法。同時抓住鼓勵表揚的握手游戲這一契機，突破教學的難點（初步理解簡單事物排列與組合的不同）讓學生通過猜一猜、演一演等形式，使他們對其規律進行本質的探究，在活動中體驗感受排列與組合的不同。這里，學生經歷了猜想、驗證、反思等一系列探索活動，體會到思之要有“據”、思之要有“理”、思之要有“序”，這不僅是讓學生在活動中學會思考，更是讓學生在探究活動中學會科學的探究方法。第三層次，聯系學生的實際――搭配衣服和買本子的活動，讓學生感受到有序思考在生活工作中的作用，進一步體驗到有序思考的必要性及重要性。

排列組合聽課反思篇三

排列與組合這一數學思想將一直影響到學生的后繼學習，根據學生的學習特點，考慮學生思維方法的新穎性與獨特性，學習時要遵循“不重復不遺漏”的原則，培養學生創新思維能力，本課教學中我在改變學生學習方式方面做了些嘗試，同時注重訓練學生的數學思維。

1、創設生活情境，激發學習興趣。

在教學《排列組合》時，我沒有按知識結構為主線，而是圍繞學生的學習情感與體驗來組織教學。創設小紅一天的故事情境，穿衣服——吃早點—上學（數字搭配）—系列的情境。內容貼近學生生活實際，使學生體會數學的應用價值。學生樂意學，主動學，不僅獲得了知識，更獲得了積極的情感體驗。

2、動手實踐體驗，探究解決問題。

問題空間有多大，探究的空間就有多大。在本節課一開始，我就放手讓學生自己去去探究衣服的幾種不同的搭配方法，通過“猜想——討論——實踐——匯報——比較——歸納”等環節，充分展開探究過程。逐漸理解在搭配時如何做到不重復不遺漏，而且要按照一定的順序來搭配。

3、關注合作交流，引發數學思考

本節課我運用了分組合作，共同探究的學習模式，讓學生互相交流，互相溝通。比如9、3、7這三個數字可以組合成多少個三位數，這個問題不是學生一眼就能看出的，一下子就能想明白的，它需要認真觀察、思考。因此安排了學生獨立思考、獨立完成、小組合作交流選擇最佳方案再匯報。目的是通過給學生一個比較寬泛的問題，留出學生自己動腦思考的空間，再通過小組交流，讓所有的學生獲得表現自我的機會，也可以實現信息在群體間的多向交流。

同時我也思考：在這節課中，很多同學表現非常出色，對這部分同學該怎么處理？在孩子起點高時是否可以讓學生通過這節課的學習能夠進行整合分類？對于有的同學能用簡單符號代替實物的又是否進一步深化理解？這些都是在課堂上沒有深入研究的，希望各位同仁解疑解惑。

排列組合聽課反思篇四

《小學數學課程標準》十分強調數學與現實生活的聯系，在教學要求中增加了“使學生感受數學與現實生活的聯系”，要求“數學教學必須從學生熟悉的生活情景和感興趣的事物出發，為他們提供觀察和操作的機會”。

《排列與組合》就是體現數學生活化的一個很好例子。說實話，對怎么把握好“排列與組合”這個內容，課前我總是猶豫不決。《標準》中指出：在解決問題的過程中，使學生能進行簡單的、有條理的思考。

因此我試圖在本節課中把數學思想方法通過日常生活中最簡單的事例呈現出來，并運用操作、實驗、猜測等直觀手段解決這些問題。重在向學生滲透這些思想方法，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識。

一、突出活動，讓學生中實踐中學習和感受數學知識。

通過多次的實踐活動，學生對排列與組合有了比較具體的感受，在多種實踐活動中加深理解排列與組合的思想。

二、給學生充足的探究空間。

在諸多的想法中找出最佳的排列方法，我讓學生小組觀察、比較、分析，說說你認為哪種擺法比較好，可以不重復、不遺漏，即使學生有不同的方法也不急于下結論，而是讓學生體會哪種是最佳擺法。

三、將實踐活動數學化。

比如握手問題。通過生生互動、師生互動，學生已掌握三個人每兩人握一次手，一共可以握三次，那么如何內化為數學知識是一個重點。因此，我讓學生想“假如在考試的時候，沒有人可以和你握手，該怎么辦？”引導學生想出用符號來表示，其實這就是數學化的過程。

總之，我想讓學生在輕松愉快的活動中，理解排列與組合的思想方法。然而，本節課也發現不少問題。比如最后的路線問題，這是一道拔高題，學生明顯感到了困難，這是備課中我沒有預想到的，今后在“備學生”方面還要下功夫。

排列組合聽課反思篇五

排列與組合的思想方法在生活中運用非常廣泛，不但是后面學習概率統計知識的基礎，同時也是培養和發展學生抽象的邏輯思維能力的好素材。表面上看教材對于這些知識的呈現似乎比較零亂，實質上數學廣角猶如一篇散文，形散神聚，它重在培養學生的有序思考能力，并且經歷簡單事物排列與組合規律的過程。為此，我在本堂課中創設了一個探索學習的情境，讓學生圍繞“去數學廣角游玩”這樣一個主題事件情境，通過智力考試猜老師的年齡，猜老師的手機號碼后2位，智力過關握手慶賀，幫老師搭配衣服，排隊留影，找回家路線等活動，由淺入深，開展學習探究，實現課堂教學生活化、生活知識數學化、探究過程趣味化。

一堂課下來，雖然同伴們說我教學設計新穎有趣、教態自然、教學語言富有感染力、教學過程流暢，似乎上得挺不錯。而我自己心里卻很明白，這堂課有許多地方是失敗的。因為這一篇“散文”的“神”我開始沒滲透好，后來沒把握好，到最后學生很難在頭腦中有效建模，所以本堂課如果我給自己打分，肯定不合格。細細反思如下：

第一，要充分利用好學生生成的素材，大做文章。《數學廣角》的內容本來就像萬花筒，不需要額外找大量素材，否則只會讓我們的課堂華而不實。如本堂課中，在讓學生思考用1、8、3三張數字卡片能排列出幾個兩位數時，我在學生獨立思考、同桌討論的基礎上，安排了同桌操作、驗證，即一位學生擺數學卡片，一位學生做記錄（用記號筆）。在巡視的過程中，我有意搜集了3種不同方案，并給它們編上號：

① 13、18、31、38、81、83

② 13、31、38、83、18、81

③ 13、83、31、81、18、38

我讓學生比較上面三種方法，說說你最欣賞哪種方法，讓小組代表介紹自己的方法。在這里，當學生說出 “有順序”三個字時，我沒有細細品下去，而是用“是啊，這樣有順序地去思考問題，就可以做到不遺漏、不重復。”這么一句粗糙的話語把難點遮住，把亮點給錯過了。假如當時，我繼續追問：“哦，那你來說說，是怎樣一種順序呢？”學生邊回答，老師邊在學生的方法上做文章，充分暴露學生的思維，提煉出“從小到大”、“從大到小”等不同的順序，這樣就會很自然地突破難點。

第二，要用心關注課堂上的細節問題。在四人小組進行握手操作時，后面的很多孩子其實都沒看清，就不可能數出來有幾次。如果能讓孩子們在握手時把手舉高點，這樣相信所有的孩子都能看得清清楚楚。有的時候就是如此，一個小小的細節往往關乎成敗。

第三，要巧妙設計每一道練習。在本堂課最后，我安排了這樣一個問題：小麗、小芳、小美三人想站成一排拍照留念，她們有幾種站法？一下子出現三個人的排列，對學生的挑戰可能有些大，也可能是我前面的有序滲透地不好，學生半天都沒拉扯清楚。打算做如下修改：把老師也加進去，每兩人合影一次，共合影幾張？

教學是一門遺憾的藝術。因為常常會有遺憾，所以需要我們不停地反思。相信每一次反思總會帶來些許進步，些許收獲！

排列組合聽課反思篇六

本節課體現了兩個特色

1、預設有效問題是進行數學思維的關鍵

“思”源于“問題”，要通過“問題解決”使兒童獲得知識、方法、能力及思想上的全面發展，首先要有一個好“問題”。因為學生數學思考的形成就是借助于對這些“問題”的思考及通過對這些問題的解決過程之中。

在這節課中，在每一個活動之前，教師都為學生創設了一個感興趣的，具有現實意義的問題：“用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數呢？”、“三個人每兩人互相握一次手，一共要握幾次手？”……只有面對這樣的好“問題”，學生才能自覺的全身心地投入到問題解決之中，才能通過對這些問題的分析、比較，對這些規律的觀察、感悟，對所得結論的描述、解釋。而這一過程又正是學生形成數學思考的過程。

2、逐步感悟有序思維的必要性

有序思維在日常生活中有著廣泛的用途，讓學生通過學習逐步感悟到有序思維的必要性就顯得猶為重要了。課始，用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數，讓學生非常自然地、主動地進行猜數，并產生怎樣思考才能既不重復也不遺漏的問題，激發學生的學習興趣。

接著，通過學生獨立思考――“用1、2、3寫（擺）兩位數”引導學生根據自己的實際情況選擇不同的方法探究新知，尊重學生的個性差異，使每個學生在原有基礎上得到完全、自由的發展，初步感悟有序的寫（擺）；交流討論，再說一說你是怎么寫（擺）的，它好在哪里？等問題，促使學生去觀察、去發現，促進了學生對其隱藏著的數學思想的領悟、認識；最后通過全班交流，引導學生得到了兩種基本的排序方法（列表法和圖示法），進一步體驗到按一定的順序思考的價值并初步掌握方法。

最后，抓住鼓勵表揚的握手游戲這一契機，突破教學的難點（初步理解簡單事物排列與組合的不同）讓學生通過猜一猜、演一演等形式，使他們對其規律進行本質的探究，在活動中體驗感受排列與組合的不同。這里，學生經歷了猜想、驗證、反思等一系列探索活動，體會到思之要有“據”、思之要有“理”、思之要有“序”，這不僅是讓學生在活動中學會思考，更是讓學生在探究活動中學會科學的探究方法。

這節課注重了排列組合的有序性，而對排列組合的合理性詮釋得還不夠到位。還有些課堂上的動態生成的資源捕捉利用不夠及時到位等等。我想這在以后教學中還應多反思，多注意的。

排列組合聽課反思篇七

求解排列應用題的主要方法：

直接法：把符合條件的排列數直接列式計算;

優先法：優先安排特殊元素或特殊位置

捆綁法：把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列

插空法：對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中

定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。

間接法：正難則反，等價轉化的方法。

例1：有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數：

(1) 全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置;

(2) 全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊;

(3) 全體排成一行，其中男生必須排在一起;

(4) 全體排成一行，男生不能排在一起;

(5) 全體排成一行，男、女各不相鄰;

(6) 全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變;

(7) 全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人;

(8) 若排成二排，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法。

某班有54位同學，正、副班長各1名，現選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情況中 ，各有多少種不同的選法?

(1)無任何限制條件;

(2)正、副班長必須入選;

(3)正、副班長只有一人入選;

(4)正、副班長都不入選;

(5)正、副班長至少有一人入選;

(5)正、副班長至多有一人入選;

6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：

(1)分給甲、乙、丙三人，每人2本;

(2)分為三份，每份2本;

(3)分為三份，一份1本，一份2本，一份3本;

(4)分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本;

(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少1本

例2、(1)10個優秀指標分配給6個班級，每個班級至少

一個，共有多少種不同的分配方法?

(2)10個優秀指標分配到1、2、3三個班，若名

額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法?

.(1)四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共

有多少種不同的放法?

(2)四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空

盒的放法有多少種?

排列組合聽課反思篇八

通過對這節課的多次教學實踐，證明了這樣設計與教學符合學生的認知規律，能有效地激發學生學習的積極性，能喚起學生對生活數學的情感體驗，能很好地讓他們感受數學思想方法。此課受到了大家的好評，我反思成功的原因有：

一、創設情境，生活取材。

新課程提出，教師是一個決策者。我在尊重教材知識點的基礎上，對教材進行了重組和加工，創設了一個主題式的情境“游玩數學廣角”，來組織學生參與多層次的多種游戲活動。在具體的活動情境中把排列與組合的思想方法滲透進去，通過玩一玩、想一想、比一比，充分地調動了學生們的積極性，使他們不知不覺地去感知了何謂排列，何謂組合。

數學學習的材料是“應當現實的、有意義的、富有挑戰性的”。這節課中，我剪輯的材料都是學生非常熟悉的，如：聰明屋排數，握手游戲，衣服的搭配，買東西等。學生一見就有親切感，能很好地激發學習興趣，促進有效學習，并充分體驗數學的應用。

二、親歷過程，主動建構。

建構主義學習觀認為，學生學習數學的過程是一個再創造過程，他們帶著自己原有的知識背景、活動經驗和理解走進學習活動并通過自己的主動活動，包括獨立思考，與他人交流和反思等，去構建對數學的理解。

在這節課中，我努力地以學生為主體，鼓勵學生大膽地進行猜測、驗證，留有充分的時空去嘗試、討論、研究，調動學生全員參與、自主探究，讓他們充分展示其思維過程，而不是將學生的思維納入老師的思維軌道，因為只有自己發現并學會的知識才是記得最牢固的。如：學生獨立排由1，2，3組成的數之后出現了各種不同的情況，學生在匯報交流中發現了自己的不足，學到了別人的長處，自然而然地學會了有序排列。這樣，讓學生親歷做數學的過程，主動建構新知，就像在水中學會游泳一樣，才能真正掌握本領。

在此過程中，也更好地體現了以下2點：

一）預設有效問題是進行數學思維的關鍵

“思”源于“問題”，要通過“問題解決”使兒童獲得知識、方法、能力及思想上的全面發展，首先要有一個好“問題”。因為學生數學思考的形成就是借助于對這些“問題”的思考及通過對這些問題的解決過程之中。在這節課中，在每一個活動之前，我首先都為學生創設了一個感興趣的，具有現實意義的問題：“用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數呢？”、“三個人每兩人互相握一次手，一共要握幾次手？”、“幫數學小精靈搭配衣服，一件衣服和一條褲子搭配算一種穿法，兩件衣服和兩條褲子有幾種搭配方法？” “買本子，5角一本，可以怎樣付錢？有幾種付法？”??只有面對這樣的好“問題”，學生才能自覺的全身心地投入到問題解決之中，才能通過對這些問題的分析、比較，對這些規律的觀察、感悟，對所得結論的描述、解釋。而這一過程又正是學生形成數學思考的過程。

二）逐步感悟有序思維的必要性

有序思維在日常生活中有著廣泛的用途，讓學生通過學習逐步感悟到有序思維的必要性就顯得猶為重要了。本節課，我試圖通過以下三個層次的設計體現這一想法：第一層次，用1、2、3這三個數字，可以編出幾個兩位數，讓學生非常自然地、主動地進行猜數，并產生怎樣思考才能既不重復也不遺漏的問題，使學生處于憤悱狀態；第二層次，通過學生獨立思考――“用1、2、3寫（擺）兩位數” 引導學生根據自己的實際情況選擇不同的方法探究新知，尊重學生的個性差異，使每個學生在原有基礎上得到完全、自由的發展，初步感悟有序的寫（擺）；交流討論，再說一說你是怎么寫（擺）的，它好在哪里？等問題，促使學生去觀察、去發現，促進了學生對其隱藏著的數學思想的領悟、認識；最后通過全班交流，引導學生得到了兩種基本的排序方法（列表法和圖示法），進一步體驗到按一定的順序思考的價值并初步掌握方法。同時抓住鼓勵表揚的握手游戲這一契機，突破教學的難點（初步理解簡單事物排列與組合的不同）讓學生通過猜一猜、演一演等形式，使他們對其規律進行本質的探究，在活動中體驗感受排列與組合的不同。這里，學生經歷了猜想、驗證、反思等一系列探索活動，體會到思之要有“據”、思之要有“理”、思之要有“序”，這不僅是讓學生在活動中學會思考，更是讓學生在探究活動中學會科學的探究方法。第三層次，聯系學生的實際――搭配衣服和買本子的活動，讓學生感受到有序思考在生活工作中的作用，進一步體驗到有序思考的必要性及重要性。

三、符號刻畫，數學建模。

數學教學中，學會“符號運算”似乎是一個極大的難題。主要的問題就在于我們以往的教學不承認學生經驗中的“符號世界”，沒有給學生提供機會經歷“從具體事物à學生個性化的符號表示à學會數學的表示”這一符號化、形式化的過程。《課標解讀》指出：符號化的問題已經轉化為數學問題，隨后就是進行符號運算和推理，最后得到結果，這就是數學建模的思想。

這節課中有好幾處教師引導學生及時地把具體事例進行逐步抽象概括，讓他們學習用簡單的數學符號語言去刻畫復雜的現象。如“請小朋友們為小精靈搭配衣服，一共可以搭配幾套？”這一問題，學生采用的方法有：

方法1：圖示法

連方法2: 或列表法或圖示法

用各畫兩衣服和褲子，用1、2、3、4（abcd、甲乙丙丁、△□○☆等）來思考

這樣，學生運用數學符號、圖形、語言等形式來表達自己的觀點，并逐步做到有條理性、邏輯性，對學生的數學思考又進行了提升，讓課堂煥發生命了的活力。 當然，我不滿足于現狀，課后我又尋思：這節課注重了排列組合的有序性，而對排列組合的合理性詮釋得還不夠到位。比如：怎樣有序的取出5角錢，對學生出現的各種情況就沒有很好的反饋，還比如有些課堂上的動態生成的資源如何及時捕捉利用的問題，等等。我想這在以后教學中應多反思，多注意的。

排列組合聽課反思篇九

教學目標

(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;

(2)了解排列和排列數的意義,能根據具體的問題,寫出符合要求的排列;

(3)掌握排列數公式,并能根據具體的問題,寫出符合要求的排列數;

(4)會分析與數字有關的排列問題,培養學生的抽象能力和邏輯思維能力;

(5)通過對排列應用問題的學習,讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律,得出結論,以培養學生嚴謹的學習態度。

教學建議

一、知識結構

二、重點難點分析

本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式,并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題.難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題.突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用,并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中.

從n個不同元素中任取(≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,稱為從n個不同元素中任取個元素的一個排列.因此,兩個相同排列,當且僅當他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同.排列數是指從n個不同元素中任取(≤n)個元素的所有不同排列的種數,只要弄清相同排列、不同排列,才有可能計算相應的排列數.排列與排列數是兩個概念,前者是具有個元素的排列,后者是這種排列的不同種數.從集合的角度看,從n個元素的有限集中取出個組成的有序集,相當于一個排列,而這種有序集的個數,就是相應的排列數.

公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好 的推導.

排列的應用題是本節教材的難點,通過本節例題的分析,應注意培養學生解決應用問題的能力.

在分析應用題的解法時,教材上先畫出框圖,然后分析逐次填入時的種數,這樣解釋比較直觀,教學上要充分利用,要求學生作題時也應盡量采用.

在教學排列應用題時,開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明,防止單純的只寫一個排列數,這樣可以培養學生的分析問題的能力,在基本掌握之后,可以逐漸地不作這方面的要求.

三、教法建議

①在講解排列數的概念時,要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念.一個排列是指“從n個不同元素中,任取出個元素,按照一定的順序擺成一排”,它不是一個數,而是具體的一件事;排列數是指“從n個不同元素中取出個元素的所有排列的個數”,它是一個數.例如,從3個元素a,b,c中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一排,有如下幾種:

ab,ac,ba,bc,ca,cb,

其中每一種都叫一個排列,共有6種,而數字6就是排列數,符號 表示排列數.

②排列的定義中包含兩個基本內容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.

從定義知,只有當元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時,才是同一個排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列.

在定義中“一定順序”就是說與位置有關,在實際問題中,要由具體問題的性質和條件來決定,這一點要特別注意,這也是與后面學習的組合的根本區別.

在排列的定義中 ,如果 有的書上叫選排列,如果 ,此時叫全排列.

要特別注意,不加特殊說明,本章不研究重復排列問題.

③關于排列數公式的推導的教學.公式推導要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法,先推導 ,…,再推廣到 ,這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學生是不難理解的.

導出公式 后要分析這個公式的構成特點,以便幫助學生正確地記憶公式,防止學生在“n”、“”比較復雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本第229頁的一段話:“其中,公式右邊第一個因數是n,后面每個因數都比它前面一個因數少1,最后一個因數是 ,共個因數相乘.”這實際是講三個特點:第一個因數是什么?最后一個因數是什么?一共有多少個連續的自然數相乘.

公式 是在引出全排列數公式 后,將排列數公式變形后得到的公式.對這個公式指出兩點:(1)在一般情況下,要計算具體的排列數的值,常用前一個公式,而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證,要用到這個公式,教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;(2)為使這個公式在 時也能成立,規定 ,如同 時 一樣,是一種規定,因此,不能按階乘數的原意作解釋.

④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析,這樣比較直觀,便于理解.

⑤學生在開始做排列應用題的作業時,應要求他們寫出解法的簡要說明,而不能只列出算式、得出答數,這樣有利于學生得更加扎實.隨著學生解題熟練程度的提高,可以逐步降低這種要求.

教學設計示例

排列

教學目標

(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;

(2)了解排列和排列數的意義,能根據具體的問題,寫出符合要求的排列;

(3)會分析與數字有關的排列問題,培養學生的抽象能力和邏輯思維能力;

教學重點難點

重點是排列的定義、排列數并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。

難點是解有關排列的應用題。

教學過程設計

一、復習引入

上節課我們學習了兩個基本原理,請大家完成以下兩題的練習(用投影儀出示):

1.書架上層放著50本不同的社會科學書,下層放著40本不同的自然科學的書.

(1)從中任取1本,有多少種取法?

(2)從中任取社會科學書與自然科學書各1本,有多少種不同的取法?

2.某農場為了考察三個外地優良品種a,b,c,計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗,問共需安排多少個試驗小區?

找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程

第1(1)小題從書架上任取1本書,有兩類辦法,第一類辦法是從上層取社會科學書,可以從50本中任取1本,有50種方法;第二類辦法是從下層取自然科學書,可以從40本中任取1本,有40種方法.根據加法原理,得到不同的取法種數是50+40=90.第(2)小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本(共取出2本),可以分兩個步驟完成:第一步取一本社會科學書,第二步取一本自然科學書,根據乘法原理,得到不同的取法種數是: 50×40=20xx.

第2題說,共有a,b,c三個優良品種,而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區,在乙類型的土地上有三個小區……所以共需3×5=15個實驗小區.

二、講授新課

學習了兩個基本原理之后,現在我們繼續學習排列問題,這是我們本節討論的重點.先從實例入手:

1.北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線,需要準備多少種不同飛機票?

由學生設計好方案并回答.

(1)用加法原理設計方案.

首先確定起點站,如果北京是起點站,終點站是上海或廣州,需要制2種飛機票,若起點站是上海,終點站是北京或廣州,又需制2種飛機票;若起點站是廣州,終點站是北京或上海,又需要2種飛機票,共需要2+2+2=6種飛機票.

(2)用乘法原理設計方案.

首先確定起點站,在三個站中,任選一個站為起點站,有3種方法.即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站,當選定起點站后,再確定終點站,由于已經選了起點站,終點站只能在其余兩個站去選.那么,根據乘法原理,在三個民航站中,每次取兩個,按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種.

根據以上分析由學生(板演)寫出所有種飛機票

再看一個實例.

在航海中,船艦常以“旗語”相互聯系,即利用不同顏色的旗子發送出各種不同的信號.如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子,按一定順序同時升起表示一定的信號,問這樣總共可以表示出多少種不同的信號?

找學生談自己對這個問題的想法.

事實上,紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號,所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數,也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數.

首先,先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個,有3種方法;

其次,確定中間位置的旗子,當最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取,有2種方法.剩下那面旗子,放在最低位置.

根據乘法原理,用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是:3×2×1=6(種).

根據學生的分析,由另外的同學(板演)寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況.(包括每個位置情況)

第三個實例,讓全體學生都參加設計,把所有情況(包括每個位置情況)寫出來.

由數字1,2,3,4可以組成多少個沒有重復數字的三位數?寫出這些所有的三位數.

根據乘法原理,從四個不同的數字中,每次取出三個排成三位數的方法共有4×3×2=24(個).

請板演的學生談談怎樣想的?

第一步,先確定百位上的數字.在1,2,3,4這四個數字中任取一個,有4種取法.

第二步,確定十位上的數字.當百位上的數字確定以后,十位上的數字只能從余下的三個數字去取,有3種方法.

第三步,確定個位上的數字.當百位、十位上的數字都確定以后,個位上的數字只能從余下的兩個數字中去取,有2種方法.

根據乘法原理,所以共有4×3×2=24種.

下面由教師提問,學生回答下列問題

(1)以上我們討論了三個實例,這三個問題有什么共同的地方?

都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象.

(2)取出的這些研究對象又做些什么?

實質上按著順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況.

(3)請大家看書,第×頁、第×行. 我們把被取的對象叫做雙元素,如上面問題中的民航站、旗子、數字都是元素.

上面第一個問題就是從3個不同的元素中,任取2個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,后來又寫出所有排法.

第二個問題,就是從3個不同元素中,取出3個,然后按一定順序排成一列,求一共有多少排法和寫出所有排法.

第三個問題呢?

從4個不同的元素中,任取3個,然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,并寫出所有的排法.

給出排列定義

請看課本,第×頁,第×行.一般地說,從n個不同的元素中,任取(≤n)個元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況),按著一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排列.

下面由教師提問,學生回答下列問題

(1)按著這個定義,結合上面的問題,請同學們談談什么是相同的排列?什么是不同的排列?

從排列的定義知道,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順序(即元素所在的位置)也必須相同.兩個條件中,只要有一個條件不符合,就是不同的排列.

如第一個問題中,北京—廣州,上海—廣州是兩個排列,第三個問題中,213與423也是兩個排列.

再如第一個問題中,北京—廣州,廣州—北京;第二個問題中,紅黃綠與紅綠黃;第三個問題中231和213雖然元素完全相同,但排列順序不同,也是兩個排列.

(2)還需要搞清楚一個問題,“一個排列”是不是一個數?

生:“一個排列”不應當是一個數,而應當指一件具體的事.如飛機票“北京—廣州”是一個排列,“紅黃綠”是一種信號,也是一個排列.如果問飛機票有多少種?能表示出多少種信號.只問種數,不用把所有情況羅列出來,才是一個數.前面提到的第三個問題,實質上也是這樣的.

三、課堂練習

大家思考,下面的排列問題怎樣解?

有四張卡片,每張分別寫著數碼1,2,3,4.有四個空箱,分別寫著號碼1,2,3,4.把卡片放到空箱內,每箱必須并且只能放一張,而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致,問有多少種放法?(用投影儀示出)

分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個位置上,只要交換卡片位置,就是不同的放法,是個附有條件的排列問題.

解法是:第一步把數碼卡片四張中2,3,4三張任選一個放在第1空箱.

第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱.

第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱.

第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法,用下面圖表表示:

所以,共有9種放法.

四、作業

課本:p232練習1,2,3,4,5,6,7.

數學教案-排列教學目標

排列組合聽課反思篇十

數學廣角是義務教育課程標準實驗教科書二年級上冊開始新增設的一個單元，是新教材在向學生滲透數學思想方法方面做出的新嘗試。本課內容重在向學生滲透簡單的排列組合的數學思想方法，并初步培養學生有順序地、全面地思考問題的意識。排列組合的思想方法不僅應用廣泛，而且是高年級學習概率統計知識的基礎，同時也是發展學生抽象能力和邏輯思維能力的好素材。

本課內容是學生在小學階段初次接觸有關排列組合的知識，但是在日常生活中，有很多事情是用排列組合來解決的，如：衣服的搭配、路線選擇等等，作為二年級的學生，已經有了一定的生活經驗，因此在學習中安排生動有趣的活動幫助學生感知排列組合的知識。

教必有法而教無定法，只有方法得當，才會有效。根據本課教學內容的特點和學生的思維特點，我采用情境教學法、操作發現法、直觀演示的教學方法。為使學生能夠有效地學習，主動的建構知識。我采用合作交流法、動手操作法、自主探究的學習方法，讓學生在一系列活動中感知排列組合。旨在凸顯三模小組化的教學模式，從根本上改變傳統教育重教師 教輕學生學的做法，突出學生的主體地位，培養學生自主學習能力。讓學生去自學、去嘗試、去探究、去發現、去解決。在課堂教學中，實現了以下三種轉變：創境引題變說出為引入；先學后教變被動為主動；展示反饋變學會為會學。

教學過程設計：

（一）創境引題變說出為引入

藍貓是學生喜歡的形象，本課我設計了藍貓帶大家去數學廣角游玩的情境并貫穿全課。

談話導入：小朋友，今天藍貓要帶我們一起到數學廣角參觀，你們高興嗎？哎，快看，數學廣角的大門是有密碼鎖的，要進去必須得到密碼才行。這時有學生可能會發出疑問或者提出問題：密碼是幾位數啊？密碼符合什么條件啊？。藍貓告訴大家：密碼是1和2組成的兩位數，學生很快就找出了答案：12或21，但不能確定是哪個，同學們，密碼是10-20之間，學生判斷出是12。我對判斷出是12的學生進行表揚和獎勵，讓他們一開始上課就獲得了成功的體驗。這樣設計調動了學生的學習興趣，營造了活躍的課堂氣氛，又在破譯密碼的過程中，滲透了簡單的排列知識，為新課的學習做了良好的鋪墊。

（二）先學后教變被動為主動

1、小組合作學習探究用1、2、3能組成幾個不同的兩位數，感知排列知識。

首先出示導學案簡潔明了，為學生合作學習指明了方向，讓學生結合導學案先學。這時學生小組合作拿出數字卡片，在小組內擺一擺、寫一寫、說一說，并記錄下結果。給學生一個自主學習的空間，教師在輔導過程中能夠了解學生的學習情況，為后面的交流展示做好準備。而我則重點指導學生要邊擺邊說，培養學生動手操作、動口表達、動腦思考的有機結合。接著鼓勵學生小組一起上臺展示，在展示時，有的學生講，有的學生寫，其他成員補充，這樣體現了小組合作的重要性。教師故意選擇了三個不同方法的小組展示，根據學生的交流匯報板書三種情況：（1）固定排頭的方法12、13、21、23、31、32；（2）固定排尾的方法21、31、12、32、13、23；（3）個位十位交換位置的方法12、21、13、31、23、32。通過對比交流，發現既不重復也不遺漏的應該是6個，我接著追問：怎樣才能做到即不重復、又不遺漏的寫出這6個數呢？這時學生各抒己見，說出自己的好辦法，我對學生的方法加以肯定并表揚：你們的方法真好，我們只要按照一定的順序去寫，就不會重復和遺漏了，并將其概括為：有序列舉，這是一次數學思想方法的滲透，也是本課教學的重點。為了突破出這個教學重點并讓學生充分感受有序列舉的好處，我接著讓學生觀察這三種方法，說一說你喜歡哪一種？為什么？通過學生的敘述加深了學生對有序列舉的感受。

讓學生在交流中互相學習，思維碰撞產生新的火花，發散學生思維，效果不同凡響。使學生了解不同的方法，把不同的排列進行對比，克服學生思維定式，有利于學生從多角度理解排列知識，從而深刻理解排列的內涵，揭示排列的本質，使學生對數字的排列有了一個更高層次的認識。讓學生當小老師上臺展示交流，既可以鍛煉這部分學生的膽量，又借學生之口來講解老師要講的內容，臺下學生聽得更認真，同時能讓老師站在學生的角度觀察思考，進而進行查漏補缺，釋疑解惑，重點講解，難點辨析，這樣老師教的輕松，學生學得扎實。而且因為學生自已整理出來的知識結構，往往是最貼切學生的認知能力的，從中也最能暴露學生知識的盲點，有助于教師的矯正。這樣的教學利于學生主體性地發揮，把學習的主動權還給學生，讓學生在平等交流中體驗互助合作的神奇，完善健康的人格個性。在這一環節領袖兒童脫穎而出。

2、小組合作握手游戲，感知組合知識。

承上一活動，門終于開了同學互相握手表示祝賀，從而引出：三個人之間可以握幾次手呢？先讓學生猜猜看？經過上面的學習，學生可能會猜是6次，也有的可能猜是3次，到底是幾次呢？學生親自握手試一試！此時我也走下講臺參與到學生的活動中，并重點指導有順序的握手。小組活動結束后，請一小組上臺展示握手情況，在鞏固了有序思考問題的同時，引導學生用圖示來表示握手的方法。這樣設計，既能使學生在握手的游戲中體驗知識的形成過程，又可以作為課中活動，使學生在此放松，達到一舉兩得的效果。另外，用圖示來抽象形象的表示握手的方法，這又是一次數學思想方法的滲透。

3、對比發現，區分排列組合。

在上一個環節中，學生通過握手游戲，對組合的規律進行了本質的探究，在活動中已經感受到了排列與組合的不同。我以一個問題引入同樣是3，為什么3個數字可以擺6個兩位數，而3個人卻只能握3次手？這個問題是本課教學的難點，我采取的是在操作活動中對比感知排列與組合的不同，在同伴的交流和啟發中發現，兩個數字交換位置變成了兩個數，而握手時兩個人即使換位置還是這兩個人，所以就是一次。由于數學知識很多時候都顯得枯燥無味，在這兒我利用兒歌朗朗上口的特點，學生更容易記住，編了一個溫馨提示。那么我也及時的做出小結并揭題：前面擺卡片的情況是與順序有關的叫排列，而握手的情況是與順序沒有關系的叫組合。從而突破了教學的難點。

（三）展示反饋變學會為會學

根據低年級學生的心理特征和本節課的教學重難點，我在練習設計時注重了目標明確、重點突出、形式多樣、有趣味性、聯系生活，從而體會生活中處處有數學。仍然圍繞藍貓問題為情境，以搭配、起名、走路、號碼為載體，以訓練為主線，以培養領袖兒童各種能力為目的，給學生搭建了一個展示反饋的平臺，讓所學的排列組合知識在這里得到應用，讓學生的參與熱情在這里得到高漲，讓整節課在這里得到升華。

1、搭配問題

藍貓想請大家為它搭配一套漂亮的衣服，用一件上裝搭配一件下裝能搭配幾套呢？將衣服圖片貼在黑板上，學生感覺很新鮮，積極參與，學生說的同時師連線其實也在滲透一種作圖方法，并且用兩種顏色的筆區分開來，潛移默化的讓學生感受固定上衣的方法，老師并不滿足現狀，而是趁熱打鐵追問到：除此之外，還有哪些方法？進而啟發得出還有固定下裝的方法。這種發散問題主要是培養學生從多角度、多方面、多領域去認識客觀事物。

2、起名問題

藍貓請大家用孫、行、者這三個字給孫悟空取名字，看能給它取多少個名字？我讓三個學生戴生字頭飾排隊，學生頓時興趣高漲，在排隊游戲中鞏固排列知識。

3、走路問題

藍貓從學校出發經過數學廣角回到家有幾種不同的走法?你會選哪條？這也是一個組合問題，但是培養了學生的一種生活經驗直路最近。

4、號碼問題

藍貓的電話號碼后三位是1、8、9組成的，可能是什么?這是一個貼近生活的排列問題，也是一個拔高題，與三年級的知識銜接在一起。

另外，我在板書設計時，力求體現知識性、簡潔性、藝術性，使學生一目了然。

排列組合聽課反思篇十一

解決排列組合應用題的基礎是：正確應用兩個計數原理，分清排列和組合的區別。

引例1

現有四個小組，第一組7人，第二組8人，第三組9人，第四組10人，他們參加旅游活動：

（1）選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法。

（2）每組選一名組長，共有多少種不同的選法4

評述：本例指出正確應用兩個計數原理。

引例2

（1）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？

（2）平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？

評述：本例指出排列和組合的區別。

求解排列組合應用題的困難主要有三個因素的影響：

1、限制條件。2、背景變化。3、數學認知結構

排列組合應用題可以歸結為四種類型：

第一個專題排隊問題

重點解決：

1、如何確定元素和位置的關系

元素及其所占的位置，這是排列組合問題中的兩個基本要素。以元素為主，分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位置分析法”。

例：3封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？

分析：這可以說是一道較簡單的排列組合的題目了，但為什么有的同學能做出正確的答案（種），而有的同學則做出容易錯誤的答案（種），而他們又錯在哪里呢？應該是錯在“元素”與“位置”上了！

法一：元素分析法（以信為主）

第一步：投第一封信，有4種不同的投法；

第二步：接著投第二封信，亦有4種不同的投法；

第三步：最后投第三封信，仍然有4種不同的投法。

因此，投信的方法共有：（種）。

法二：位置分析法（以信箱為主）

第一類：四個信箱中的某一個信箱有3封信，有投信方法（種）；

第二類：四個信箱中的某一個信箱有2封信，另外的某一個信箱有1封信，有投信方法種。

第三類：四個信箱中的某三個信箱各有1封信，有投信方法（種）。

因此，投信的方法共有：64（種）

小結：以上兩種方法的本質還是“信”與“信箱”的對應問題。

2、如何處理特殊條件——特殊條件優先考慮。

例：7位同學站成一排，按下列要求各有多少種不同的排法；

甲站某一固定位置；②甲站在中間，乙與甲相鄰；③甲、乙相鄰；④甲、乙兩人不能相鄰；⑤甲、乙、丙三人相鄰；⑥甲、乙兩人不站在排頭和排尾；⑦甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰；⑧甲、乙兩人必須相鄰，且丙不站在排頭和排尾。

第二個專題排列、組合交叉問題

重點解決：

1、先選元素，后排序。

例：3個大人和2個小孩要過河，現有3條船，分別能載3個、2個和1個人，但這5個人要一次過去，且小孩要有大人陪著，問有多少種過河的方法？

分析：設1號船載3人，2號船載2人，3號船載2人，小孩顯然不能進第3號船，也不能二個同時進第2號船。

法一：從“小孩”入手。

第一類：2個小孩同時進第1號船，此時必須要有大人陪著另外

2個大人同時進第2號船或分別進第2、3號船，先選3個大人之一進1號船，

有（種）過河方法

第二類：2個小孩分別進第1、2號船，此時第2號船上的小孩必須要有大人陪著，另外

2個大人同時進第1號船或分別進第1、3號船，有過河方法

（種）。

因此，過河的方法共有：（種）。

法二：從“船”入手

第一類：第1號船空一個位，此時3條船的載人數分別為2、2、1，故2個小孩只能分

別進第1、2號船，有過河方法（種）；

第二類：第2號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、1、1，故2個小孩只能同時進第1號船，有過河方法（種）；

第三類：第3號船空一個位，此時3條船的載人數分別為3、2、0，故2個小孩同時進第1號船或分別進第1、2號船，有過河方法（種）。因此，過河的方法共有：（種）。

2、怎樣界定是排列還是組合

例：①身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，從中間看兩邊，一個比一個矮，這樣的排法有多少種？

②身高不等的7名同學排成一排，要求中間的高，兩邊次高，再兩邊次高，如此下去，這樣的排法共有有多少種？

答：①種②=8種

本來①是組合題，與順序無關，但有些學生不加分析，看到排隊就聯想排列，這是一個誤區。至于②也不全是排列問題，只是人自然有高低，按人的高低順次放兩邊就是了。

又例：7名同學排成一排，甲、乙、丙這三人的順序定，則不同排法有多少種？

分析，三人的順序定，實質是從7個位置中選出三個位置，然后按規定的順序放置這三人，其余4人在4個位置上全排列。故有排法=840種。

3、枚舉法

三人互相傳球，由甲開始傳球，并作為第一次傳球，經過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有

（a）6種（b）8種（c）0種（d）12種

解：（枚舉法）該題新穎，要在考試短時間內迅速獲得答案，考慮互傳次數不多，所得選擇的答案數字也不大，只要按題意一一列舉即可。

第三個專題分堆問題

重點解決：

1、均勻分堆和非均勻分堆

關于這個問題，課本p146練習10如此出現：8個籃球隊有2個強隊，先任意將這8各隊分成兩個組，（每組4個隊）進行比賽，這兩個強隊被分成在一個小組的概率是多少？

由于課本后面出現這樣的練習題，所以前面應對這些問題有所分析，尤其為什么均勻分堆有出現重復？應舉例說明。

例：有六編號不同的小球，

①分成3堆，每堆兩個

②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個

③分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個

在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？

分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3！重復，③是兩個均勻分堆，有2！重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現重復。在教學中應用數字表示球，通過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。

例：有六編號不同的小球，

①分成3堆，每堆兩個

②分成3堆，一堆一個，一堆兩個，一堆三個

③分成3堆，一堆一個，一堆一個，一堆四個

在①、②、③的條件下，再分別給三個小朋友玩，每人一堆，有多少種分法？

分析：①、②、③都是分堆，其中①是三個均勻分堆，有3！重復，③是兩個均勻分堆，有2！重復，如此類推。②是非均勻分堆，不可能出現重復。在教學中應用數字表示球，通

過列舉法說明重復的可能，以及避免重復。

答案：①②③④再乘以

2、為什么有重復，怎樣避免重復

例：從4名男生、5名女生中任選3人參加學代會，至少男生、女生各一名的不同選法有多少種？

有些學生這樣想：先從4人中選一人，再從5人中選一人，最后在剩下的7人中選一人，結果是結果是錯誤的。因為后面的7人與前面已選的人可能出現重

復，正確的答案是。

又例：有4個唱歌節目，4個舞蹈節目，2個小品排成一個節目單，但舞蹈和小品要相隔，不同的編排有多少種方法？

有些學生這樣想，先定位4個唱歌，有5個位插入小品兩個位，此時有7個位再插入4個舞蹈，故的表達式是。

其實，這里又出現了重復，正確的列式是

第四個專題直接法和間接法的區別及運用

重點解決：

1、選擇集合的元素有交集問題；

例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有幾種不同的坐法？

法一：直接法

第一類：甲在第2—6號位中選一而坐，接著乙在第1—6位中余下的5個位中擇一而坐，剩下的任意安排（種）；

第二類：甲在第7號坐，剩下的任意安排，有坐法數（種）。

因此，不同的坐法數共有（種）。

法二：間接法

七人并坐，共有坐法數（種）。甲坐首位，有種方法；乙坐末位，亦有種方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合題目要求，所以應該從扣除，但在扣除的過程中，甲坐首位且乙坐末位的情況被扣除了2次，因此還須補回一個。因此，不同的坐法數有（種）

2、選擇元素中有至少、至多等問題。

在100件產品中，有98件合格品，2件次品，從100見產品中任意抽取3件，（1）至少有一件是次品的抽法有多少種？（2）至多有一件次品的抽法有多少種？

答：（1）解法1：

解法2：

（2）

以上的處理，主要有如下幾個好處：

①教學比較自然、流暢，容易對近似概念進行比較，找到其相同點和不同點，更深刻的從外延到內涵掌握概念及其數學意義。

②把相關概念弄清楚后，能給學生有足夠的工具，使學生解決應用題時不在被工具而困擾，形成良好知識結構，解決問題的思路容易暢通

③重點突出，學生就比較容易把每一個難點和重點給予突破，減輕學生的負擔又能實現學生的學習落到實處。

④在提高教學質量的前提下，又能提高效率。