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已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個(gè)點(diǎn)
題目

已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為(      )

A、

     B、

      C、

      D、

可圈可點(diǎn)用戶
2021-06-08 12:08
優(yōu)質(zhì)解答

答案
A
擴(kuò)展知識(shí)

三棱錐頂點(diǎn)射影與底面三角形的“心”

設(shè)有三棱錐P-ABC,P在平面ABC上的射影為O,現(xiàn)討論當(dāng)三棱錐滿足什么條件時(shí),O分別是△ABC的外心、內(nèi)心、旁心、重心、垂心(三角形五心)。

外心

若O是△ABC的外心,則OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC(射影的定義),因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA,tanPBO=OP/OB,tanPCO=OP/OC,由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。

綜上,可得到以下定理:

當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱相等時(shí),頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。

當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成角相等時(shí),頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的外心。

內(nèi)心

若O是△ABC的內(nèi)心,則O到三邊距離相等,且O在△ABC內(nèi)。設(shè)O到BC、AC、AB的垂線段分別為OD、OE、OF,那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD,tanPEO=OP/OE,tanPFO=OP/OF,因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。

且由三垂線定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB,即∠PDO、∠PEO、∠PFO分別是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。

綜上,可得到以下定理:

當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)到底面三角形三邊距離相等,且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部,那么射影是內(nèi)心。

當(dāng)三棱錐的各個(gè)側(cè)面與底面構(gòu)成的二面角相等,且頂點(diǎn)在底面的射影在底面三角形的內(nèi)部,那么射影是內(nèi)心。

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可圈可點(diǎn)用戶
2021-06-08 17:08
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