人的記憶力會隨著歲月的流逝而衰退，寫作可以彌補記憶的不足，將曾經的人生經歷和感悟記錄下來，也便于保存一份美好的回憶。大家想知道怎么樣才能寫一篇比較優質的范文嗎？下面我給大家整理了一些優秀范文，希望能夠幫助到大家，我們一起來看一看吧。

不等式證明典型例題篇一

2013年數學vip講義

【例1】 設a，b∈r，求證：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 設a=a+d，b=b+c，a，b，c，d∈r+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，試比較a與b的大小。

因a、b的表達形式比較簡單，故作差后如何對因式進行變形是本題難點之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一個字母。關鍵是消去哪個字母，因條件中已知a的不等關系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一個均可。

由ad=bc得：d?bca1?ab?bc?caa?b?c?abc≥1。

bca??b?c?a?b?(a?b)(a?c)a?0bc?acaa-b=a+d-(b+c)=a? =a?b? c(a?b)a

【例4】 a，b，c∈r，求證：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等號兩邊均是和的形式，利用一次基本不等式顯然不行。不等號右邊為三項和，根據不等號方向，應自左向右運用基本不等式后再同向相加。因不等式左邊只有三項，故把三項變化六項后再利用二元基本不等式，這就是“化奇為偶”的技巧。

左=12(2a4?2b224?2c)?22412[(a24?b)?(b22244?c)?(c2244?a)]24

≥12(2ab?2bc?2ca)?ab?bc?ca

2發現縮小后沒有達到題目要求，此時應再利用不等式傳遞性繼續縮小，處理的方法與剛才類似。

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ab?1212

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22?bc2222?ca2222?212(2ab2222?2bc2222?2ca)22

?ca)?(ca2[(ab?bc)?(bc22?ab)]22≥(2abc?2abc2?2abc)?ab(a?b?c)1a

?1c?【例5】（1）a，b，c為正實數，求證：?（2）a，b，c為正實數，求證：

a21bb2≥

c21ab?1bc?1ac；

b?c?a?ca?b≥

a?b?c2。

（1）不等式的結構與例4完全相同，處理方法也完全一樣。

（2）同學們可試一試，再用剛才的方法處理該題是行不通的。注意到從左向右，分式變成了整式，可考慮在左邊每一個分式后配上該分式的分母，利用二元基本不等式后約去分母，再利用不等式可加性即可達到目的。試一試行嗎？

a2b?cb2?(b?c)≥2a2b?cb2?(b?c)?2a

a?cc2?(a?c)≥2a?c?(a?c)?2ba?b?(a?b)≥2c2a?b?(a?b)?2c

相加后發現不行，a，b，c的整式項全消去了。為了達到目的，應在系數上作調整。

a2b?c?b?c4≥a，b2a?c?a?c4≥b，c2a?b?a?b4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y為正實數，x+y=a，求證：x+y≥

2a22。

思路一；根據x+y和x2+y2的結構特點，聯想到算術平均數與平方平均數之間的不等關系?！?x?y22≤2x2?y22

2∴ x?y≥(x?y)2?a22

思路二：因所求不等式右邊為常數，故可從求函數最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，這里采用消元思想轉化為一元函數，再用單調性求解。換元有下列三種途徑：

途徑1：用均值換元法消元： 令 x?2a2?m，y?aa22?m

22則 x?y?(?m)?(?m)?2m?222aa22≥

a22

途徑2：代入消元法： y=a-x，0

a2)2?a22≥

a22

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途徑3：三角換元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

2?2013年數學vip講義

則 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：為了達到消元的目的，途徑1和途徑3引入了適當的參數，也就是找到一個中間變量表示x，y。這種引參的思想是高中數學常用的重要方法。【例7】 已知a>b>0，求證：(a?b)8a2?a?b2?ab?(a?b)8b2。

12所證不等式的形式較復雜（如從次數看，有二次，一次，次等），難以從某個角度著手。故考慮用分析法證明，即執果索因，尋找使不等式成立的必要條件。實際上就是對所證不等式進行適當的化簡、變形，實際上這種變形在相當多的題目里都是充要的。

a?b2?ab?a?b?2ab2b)(a?(a??(a?2b)2

a?b?(a?b)b)(a?8a2所證不等式可化為∵ a>b>0 ∴ a?b ∴ a?b?0

b)2?(a?2b)2?(a?b)(a?8b2b)2

∴ 不等式可化為：(a?4ab)2?1?(a?4bb)2

2??(a?b)?4a即要證?

2??4b?(a?b)??a?b?2a只需證?

?2b?a?b?在a>b>0條件下，不等式組顯然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx?3?8，求證：對任意實數a，b，恒有f(a)

112.不等號兩邊字母不統一，采用常規方法難以著手。根據表達式的特點，借助于函數思想，可分別求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)?112的最值，看能否通過最值之間的大小關系進行比較。

?8?2(2)a2a24aa?3?8?8?2a8?82a≤

2?82?a?82a842?2

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 32?22013年數學vip講義

∴ g(b)>f(a)注：本題實際上利用了不等式的傳遞性，只不過中間量為常數而已，這種思路在兩數大小比較時曾講過。由此也說明，實數大小理論是不等式大小理論的基礎。

【例9】 已知a，b，c∈r，f(x)=ax2+bx+c，當|x|≤1時，有|f(x)|≤1，求證：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）當|x|≤1時，|ax+b|≤2。

這是一個與絕對值有關的不等式證明題，除運用前面已介紹的不等式性質和基本不等式以外，還涉及到與絕對值有關的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±?±an|≤|a1|+|a2|+?+|an|。就本題來說，還有一個如何充分利用條件“當|x|≤1時，|f(x)|≤1”的解題意識。

從特殊化的思想出發得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 當x=1時，|f(1)|≤1；當x=-1時，|f(-1)|≤1 下面問題的解決試圖利用這三個不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量?！?f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b?12[f(1)?f(?1)] 12|f(1)?f(?1)|≤12[|f(1)|?|f(?1)|]≤

12(1?1)≤1 ∴ |b|?（2）思路一：利用函數思想，借助于單調性求g(x)=ax+b的值域。

當a>0時，g(x)在[-1，1]上單調遞增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 當a<0時，同理可證。

思路二：直接利用絕對值不等式

為了能將|ax+b|中的絕對值符號分配到a，b，可考慮a，b的符號進行討論。當a>0時

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面對b討論

① b≥0時，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0時，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 當a<0時，同理可證。

評注：本題證明過程中，還應根據不等號的方向，合理選擇不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不適當選擇，則不能滿足題目要求。

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1、設a，b為正數，且a+b≤4，則下列各式一定成立的是 a、c、1a12?1b1a≤?141b b、≤1 d、141a≤

?1a?1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，則下列各式中一定正確的是 a、ac≥b b、ab≥c c、bc≥a d、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，設m=

a4?a?bb?cc4?c，n=，則mn的大小關系是

a、m>n b、m=n c、m

6、已知函數f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈r，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，則f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 a、一定大于零 b、一定小于零 c、一定等于零 d、正負都有可能

7、若a>0，b>0，x?111(?)2ab1a?b1ab，y?，z?，則

a、x≥y>z b、x≥z>y c、y≥x>z d、y>z≥x

8、設a，b∈r，下面的不等式成立的是 a、a+3ab>b b、ab-a>b+ab c、（二）填空題

9、設a>0，b>0，a≠b，則aabb與abba的大小關系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正數，則(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等號填空）。

12、當00且t≠1時，logat與log21t?1a2

2ab?a?1b?1 d、a+b≥2(a-b-1)

22的大小關系是__________。

n13、若a，b，c為rt△abc的三邊，其中c為斜邊，則an+bn與c（其中n∈n，n>2）的大小關系是________________。

（三）解答題

14、已知a>0，b>0，a≠b，求證：a?

15、已知a，b，c是三角形三邊的長，求 證：1?

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ab?c?ba?c?ca?b?2。

b?ab?ba。金牌師資，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求證：

18、若a，b，c為正數，求證：

19、設a>0，b>0，且a+b=1，求證：(a?

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a，b，c全為正數。

1a)(b?1b)2541a?1b?1ca82013年數學vip講義

12(a?b)2?14(a?b)≥aa?ba。

≤

?b383?c38。

abc≥。

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不等式證明練習題

(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號什么時候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對值的不等式練習。1.關于實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數得：a=-4,b=-9.函數y=arcsinx的定義域是，值域是，函數y=arccosx的定義域是，值域是，函數y=arctgx的定義域是r，值域是.，函數y=arcctgx的定義域是r，值域是(0,π).直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展開，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

樓上的，用基本不等式要考慮等號什么時候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18設ab=x,bc=y,ca=z

則原不等式等價于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有絕對值的不等式練習。1.關于實數x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提條件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式變形為x2+x-<0，它與不等式x2+x+<0比較系數得：a=-4,b=-9.函數y=arcsinx的定義域是，值域是，函數y=arccosx的定義域是，值域是，函數y=arctgx的定義域是r，值域是.，函數y=arcctgx的定義域是r，值域是(0,π).直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。函數公式模型。一個函數是奇(偶)函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇(偶)函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數.

11n??恒成立，則n的最大值是（）a?bb?ca?c

a．2b．3c．4d．6 1．設a?b?c,n?n，且

x2?2x?22． 若x?(??,1)，則函數y?有（）2x?

2a．最小值1b．最大值1c．最大值?1d．最小值?

13．設p?

q?

r?p,q,r的大小順序是（）

a．p?q?rb．p?r?qc．q?p?rd．q?r?p

4．設不等的兩個正數a,b滿足a?b?a?b，則a?b的取值范圍是（）

a．(1,??)b．(1,)c．[1,]d．(0,1)

?5．設a,b,c?r，且a?b?c?1，若m?(?1)(?1)(?1)，則必有（）332243431

a1b1c

a．0?m?11b．?m?1c．1?m?8d．m?8 88

6．若a,b?

r?，且a?b,m?

n?m與n的大小關系是a．m?nb．m?nc．m?nd．m?n

1．若logxy??2，則x?y的最小值是（）

33223a．b．c．22

3?2．a,b,c?r，設s?3d．232 abcd???，a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b

則下列判斷中正確的是（）

a．0?s?1b．1?s?2c．2?s?3d．3?s?

43．若x?1，則函數y?x?116x?的最小值為（）xx2?1

a．16b．8c．4d．非上述情況

4．設b?a?0，且p?a?b，m? n?，r?q?112?ab2

則它們的大小關系是（）

a．p?q?m?n?rb．q?p?m?n?r

c．p?m?n?q?rd．p?q?m?r?n

二、填空題

1．函數y?3x(x?0)的值域是.2x?x?

12．若a,b,c?r?，且a?b?c?1，則a??的最大值是

3．已知?1?a,b,c?1，比較ab?bc?ca與?1的大小關系為4．若a?

0，則a?1a5．若x,y,z是正數，且滿足xyz(x?y?z)?1，則(x?y)(y?z)的最小值為______。

1．設x?0，則函數y?3?3x?1的最大值是__________。x

2．比較大?。簂og34______log67

3．若實數x,y,z滿足x?2y?3z?a(a為常數)，則x2?y2?z2的最小值為

4．若a,b,c,d是正數，且滿足a?b?c?d?4，用m表示

a?b?c,a?b?d,a?c?d,b?c?d中的最大者，則m的最小值為__________。

5．若x?1,y?1,z?1,xyz?10，且xlgx?ylgy?zlgz?10，則x?y?z?_____。

1．若a?b?0，則a?1的最小值是_____________。b(a?b)

abb?ma?n, , , 按由小到大的順序排列為baa?mb?n2．若a?b?0,m?0,n?0，則

223．已知x,y?0，且x?y?1，則x?y的最大值等于_____________。

1111??????，則a與1的大小關系是_____________。210210?1210?2211?1

125．函數f(x)?3x?2(x?0)的最小值為_____________。x4．設a?

三、解答題

1．已知a?b?c?1，求證：a?b?c?

2221 3

．解不等式x?7?3x?4??0

3．求證：a?b?ab?a?b?1

．證明：1)?1

1．如果關于x的不等式x?3?x?4?a的解集不是空集，求參數a的取值范圍。

22?...??a?b?c2

?3

3．當n?3,n?n時，求證：2n?2(n?1)

4．已知實數a,b,c滿足a?b?c，且有a?b?c?1,a2?b2?c2?1，求證：1?a?b?

1． 設a,b,c?r?，且a?b?c，求證：a?b?c

2．已知a?b?c?d，求證：

?3．已知a,b,c?r，比較a?b?c與ab?bc?ca的大小。3332224 32323231119??? a?bb?cc?aa?d

．求函數y?

5．已知x,y,z?r，且x?y?z?8,x?y?z?24

求證：

222444?x?3,?y?3,?z?3 333

不等式證明典型例題篇四

不等式證明

1.比較法：

比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分為作差法、作商法

（1）作差比較：

①理論依據a-b>0

a>b;a-b=0

a=b;a-b<0

a

⑴作差：對要比較大小的兩個數（或式）作差。

⑵變形：對差進行因式分解或配方成幾個數（或式）的完全平方和。⑶判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號。

注意：若兩個正數作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小。（2）作商法：①要證a>b(b>0),只要證

;要證a

0)，只要證

2.綜合法：所謂綜合法，就是從題設條件和已經證明過的基本不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，可簡稱為由因導果。常見的基本不等式有 ｜a｜≥0, a2?b2?2ab，a?b?ab 2，a?b?a?b?a?b 分析法：從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法叫分析法，分析法的思想是“執果索因”：即從求證的不等式出發，探求使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

基本步驟：要證??只需證??，只需證?? 4 分析綜合法

單純地應用分析法證題并不多見，常常是在分析的過程中，又綜合條件、定理、常識等因素進行探索，把分析與綜合結合起來，形成分析綜合法。反證法：先假設所要證明的不等式不成立，即要證的不等式的反面成立，如要證明不等式m

n，由題設及其他性質，推出矛盾，從而否定假設，肯定m

具體放縮方式有公式放縮和利用某些函數的單調性放縮。常用的技巧有：舍去一些正項或負項；在和或積中換大（或換?。┠承╉棧粩U大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?，放縮時要注意不等號的一致性。放縮法的方法有：

⑴添加或舍去一些項，如：a2?1?a；n(n?1)?n ⑵將分子或分母放大（或縮小）⑶利用基本不等式，如：lg3?lg5?(n?(n?1)2⑷利用常用結論： n(n?1)?lg3?lg5)?lg15?lg16?lg4 2ⅰ、k?1?k?1k?1?k?12k；

ⅱ、1111； ???k2k(k?1)k?1k1111（程度大）???2k(k?1)kk?1kⅲ、12?k11111??(?)；（程度?。?k?1(k?1)(k?1)2k?1k?17 換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。如： 已知x2?y2?a2，可設x?acos?,y?asin?； 已知x2?y2?1，可設

x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

x2y2已知2?2?1，可設x?acos?,y?bsin?；

abx2y2已知2?2?1，可設x?asec?,y?btan?；

ab8、判別式法：判別式法是根據已知或構造出來的一元二次方程，一元二次不等式，二次函數的根、解集、函數的性質等特征確定出其判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。

9、其它方法 最值法：恒成立

恒成立

構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式；

§14不等式的證明

不等式在數學中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下： 不等式的性質：a?b?a?b?0,a?b?a?b?0.這是不等式的定義，也是比較法的依據.對一個不等式進行變形的性質：

（1）a?b?b?a（對稱性）

（2）a?b?a?c?b?c（加法保序性）

（3）a?b,c?0?ac?bc;a?b,c?0?ac?bc.（4）a?b?0?an?bn,na?nb(n?n*).對兩個以上不等式進行運算的性質.（1）a?b,b?c?a?c（傳遞性）.這是放縮法的依據.（2）a?b,c?d?a?c?b?d.（3）a?b,c?d?a?c?b?d.（4）a?b?0,d?c?0,?含絕對值不等式的性質：

（1）|x|?a(a?0)?x2?a2??a?x?a.（2）|x|?a(a?0)?x2?a2?x?a或x??a.（3）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）.（4）|a1?a2???an|?|a1|?|a2|???|an|.ab?,ad? 證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數學歸納法、構造函數方法等.當然在證題過程中，?？伞坝梢驅Ч被颉皥坦饕颉?前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解 1．a,b,c?0,求證：ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc.a?b?c32．a,b,c?0，求證：abc?(abc)

abc.a2?b2b2?c2c2?a2a3b3c3?????.3．：a,b,c?r,求證a?b?c?2c2a2bbccaab?

4．設a1,a2,?,an?n*，且各不相同，求證：1?????

12131aa3an?a1?2????..n2232n25．利用基本不等式證明a2?b2?c2?ab?bc?ca.446．已知a?b?1,a,b?0,求證：a?b?1.8

7．利用排序不等式證明gn?an

8．證明：對于任意正整數r，有(1?

1n1n?1)?(1?).nn?11119．n為正整數，證明：n[(1?n)?1]?1??????n?(n?1)nn?1.23n

1n? 課后練習

1.選擇題

(1)方程x-y=105的正整數解有().（a）一組（b）二組

（c）三組

（d）四組

(2)在0,1,2,?，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（）.（a）3個（b）4個

（c）5個

（d）6個 2．填空題

（1）的個位數分別為_________及_________.4

5422(2)滿足不________.等式10?a?10的整數a的個數是x×10+1，則x的值(3)已知整數y被7除余數為5,那么y被7除時余數為________.(4)求出任何一組滿足方程x-51y=1的自然數解x和y_________.3.求三個正整數x、y、z滿足

23.4．在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的數組共有多少組？

5．求的整數解.6．求證可被37整除.7．求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.9.如果p、q、、都是整數，并且p＞1，q＞1，試求p+q的值.課后練習答案

1.d.c.2.(1)9及1.(2)9.(3)4.(4)原方程可變形為x=(7y+1)+2y(y-7),令y=7可得x=50.223.不妨設x?y?z,則,故x?3.又有故x?2.若x=2,則,故y?6.又有,故y?4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3?y?4,y=3或4,z都不能是整數.4.可仿例2解.5.分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.．．

略解：a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次22數及系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.8888≡8(mod37),∴8888333

3222

2≡8(mod37).2222

27777≡7(mod37),7777≡7(mod37),8888238+7=407,37|407,∴37|n.22

3+7777

3333

≡(8+7)(mod37),而

237.簡解:原方程變形為3x-(3y+7)x+3y-7y=0由關于x的二次方程有解的條件△?0及y為整數可得0?y?5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.∵l+m=n,∴l=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l,n-m=1.于是2222l=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l+2l+1=(l+1).即2(l+m+1)是完全平方數.222

229.易知p≠q,不妨設p＞q.令(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.=n,則m＞n由此可得不定方程

例題答案：

1.證明：?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6abc

?a(b2?c2?2bc)?b(a2?c2?2ac)?c(a2?b2?2ab)

?a(b?c)2?b(c?a)2?c(a?b)2

?0

?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)?6ab.c

評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明a2?b2?c2?ab?bc?ca時，可將a2?b2

1?(ab?bc?ca)配方為[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，亦可利用a2?b2?2ab，2b2?c2?2bc,c2?a2?2ca，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數式，故嘗試用商較法.不等式關于a,b,c對稱，不妨a?b?c,則a?b,b?c,a?c?r?，且

ab,，c(abc)a?b?c3?a2a?b?c3b2b?a?c3c2c?a?b3?aa?b3?aa?c3?bb?a3?bb?c3?cc?a3?cc?b3

a?b3a?()bb?()cb?c3a?()ca?c3?1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定n個字母的大小順序，可方便解題.（2）本題可作如下推廣：若ai?0(i?1,2,?,n),則a11a22?anaaan?(a1a2?an)a1?a2???ann.（3）本題還可用其他方法得證。因aabb?abba，同理bbcc?bccb,ccaa?caac，另aabbcc?aabbcc，4式相乘即得證.（4）設a?b?c?0,則lga?lgb?lgc.例3等價于alga?blgb?algb?blga,類似例4可證alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga?algc?blgb?clga.事實上，一般地有排序不等式（排序原理）： 設有兩個有序數組a1?a2???an,b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bj1?a2bj2???anbjn（亂序和）?a1bn?a1bn?1???anb1（逆序和）

其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的任一排列.當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時等號成立.排序不等式應用較為廣泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉化為兩個有序數組的積的形式.如a,b,c?r?時,a3?b3?c3?a2b?b2c?c2a?a2?a?b2?b?c2?c

a2b2c2111111?a?b?b?c?c?a;???a?b?c?a2??b2??c2??a2??b2??c2?bcabcaabc222.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.111111??，則a2??b2??c2?（亂序和）cbacab111111?a2??b2??c2?（逆序和），同理a2??b2??c2?（亂序和）abccab111?a2??b2??c2?（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數abc111333??組a?b?c及，

222不妨設a?b?c,則a?b?c,4.分析：不等式右邊各項

ai1?a?；可理解為兩數之積，嘗試用排序不等式.i22ii設b1,b2,?,bn是a1,a2,?,an的重新排列，滿足b1?b2???bn，又1?111????.22223nanbna2a3b2b3.由于b1,b2,?bn是互不相同的正整數，?????b?????122222n2323nb3bnb11故b1?1,b2?2,?,bn?n.從而b1?2，原式得證.?????1????2222n23n所以a1?評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，a2?b2?a?b?b?a，a3?b3?c3?a2?b?b2?c?c2?a?a?ab?b?bc?c?ca?a?bc?b?ac?c?ab?3abc.5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方．．法.a2?b2?2ab,同理b2?c3?2bc,c2?a2?2ca；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.22xnx12x2如?????x1?x2???xn，可在不等式兩邊同時加上x2x3x1x2?x3???xn?x1.再如證(a?1)(b?1)(a?c)3(b?c)3?256a2b2c3(a,b,c?0)時，可連續使用基本不等式.a?b2a2?b2)?（2）基本不等式有各種變式

如(等.但其本質特征不等式兩邊的次數及22系數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，系數和為1.6.思路分析：不等式左邊是a、b的4次式，右邊為常數式呢.44要證a?b?1，如何也轉化為a、b的4次811,即證a4?b4?(a?b)4.8833評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知x1?x2?x3?1,xi?0,求證：x1 ?x211133求證：x1x2?x2x3 ?x3?.右側的可理解為(x1?x2?x3).再如已知x1?x2?x3?0，3332+x3x1?0，此處可以把0理解為(x1?x2?x3)，當然本題另有簡使證法.38（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于n個正數a1,a2,?an)

調和平均hn?n111????a1a2an 幾何平均gn?na1?a2?an 算術平均an?a1?a2???an

n22a12?a2???an平方平均qn?

2這四個平均值有以下關系：hn?gn?an?qn，其中等號當且僅當a1?a2???an時成立.7.證明: 令bi?ai,(i?1,2,?,n)則b1b2?bn?1，故可取x1,x2,?xn?0，使得 gnb1?

xxx1x,b2?2,?,bn?1?n?1,bn?n由排序不等式有： x2x3xnx1b1?b2???bn

=xx1x2????n（亂序和）x2x3x1111?x2????xn?（逆序和）x1x2xn ?x1?

=n，?aa?a2???ana1a2????n?n,即1?n111，?,各數利用算術平均大于等于幾何平均即可得，gn?an.a1a2an 評述:對8.分析:原不等式等價于n?1(1?)?1?平均，而右邊為其算術平均.n?11nn1，故可設法使其左邊轉化為n個數的幾何n?111111n?21(1?)n?(1?)?(1?)?1?(1?)?(1?)?1??1?.n?1nnnnnn?1n?1??????????????n個n?1 評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證(1?1n?11n?2)?(1?).nn?1（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式

111?????(1?n)?1?23n1111??????n123n ?(1?n)n?

n111(1?1)?(?1)?(?1)???(?1)123n ?(1?n)n?n34n?12?????23n?n1?n?(*)

nn[(1?n)?1]?1?2?1n1n1?111????23n

n 34n?1????23n?n2?3?4???n?1?nn?1.n23n ?（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式

?1111??????n?(n?1)?nn?1

23n1 ?n1?n?1n?(1??111111????)(1?)?(1?)???(1?)23n?n?11?23n n?1nn?112n?1????123n

（**）? n?1?nn?1

（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.