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已知函數(shù)f(x)=lnx-ax
題目

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)f(x)=0在[1,e2]上有解,求a的取值范圍.

可圈可點用戶
2021-03-02 13:13
優(yōu)質(zhì)解答

答案

(Ⅰ)定義域為(0,+∞)f′(x)=(1/x0-a=(1-ax)/x

當a≤0時,f′(x)>0恒成立,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞)

當a>0時,令f′(x)>0,x<1/a

令f′(x)<0,x>1/a

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1/a),單調(diào)遞減區(qū)間為(1/a,+∞)

(Ⅱ)lnx-ax=0在x∈[1,e2]上有解

故a=lnx/x在x∈[1,e2]上有解

令g(x)=lnx/x(1≤x≤e2)g′(x)=1-lnx/x2

令g′(x)=0得x=eg(1)=0,g(e)=1/e,g(e2)=2/e2

∴0≤g(x)≤1/e

∴0≤a≤1/e

考點名稱:函數(shù)的單調(diào)性、最值

單調(diào)性的定義:

1、對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若對于任意x1,x2∈D,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱f(x)是區(qū)間上的增函數(shù);當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)。

2、如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)增或減區(qū)間

3、最值的定義:

最大值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M,滿足:①對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,稱M是f(x)的最大值.

最小值:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M,滿足:①對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,稱M是f(x)的最小值

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可圈可點用戶
2021-03-02 18:13
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